Puissances d'une matrice de rang un augmentée

Énoncé

On pose $J$ la matrice de $\mathcal{M}_3(\R)$ dont tous les coefficients valent $1$ , et $A = I_3 + J$ .

Calculer $J^2$ en fonction de $J$ .
En déduire, pour tout $n \in \N$ , une expression de $A^n$ sous la forme $I_3 + c_n J$ .
Déterminer les valeurs propres de $A$ .

Indication 1

$J^2 = 3J$ , donc $I_3$ et $J$ commutent et la formule du binôme s'applique.

Indication 2

Chercher $c_n$ par récurrence : $c_{n+1} = 1 + 4c_n$ , ou utiliser le binôme.

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