Série de terme général ln(1 + (−1)^n/√n)

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Énoncé

Étudier la nature de la série de terme général $u_n = \ln\left(1 + \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\right)$ , $n \geq 2$ .

Pourquoi l'équivalent $u_n \sim \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$ ne suffit-il pas à conclure ?

Indication 1

Développer : $u_n = \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}} - \dfrac{1}{2n} + O\left(\dfrac{1}{n^{3/2}}\right)$ .

Indication 2

Étudier séparément les trois séries : alternée, harmonique, absolument convergente.

Indication 3

Le critère des équivalents ne vaut que pour des séries de signe constant.

Connecte-toi pour proposer une solution : trois membres la reliront.

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