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Somme de la série entière de terme général x^n/(n(n+1))

L2MPPCPSIPTdifficulté 2/5Analysepar XiMaths▲ Utile · 0

Énoncé

  1. Déterminer le rayon de convergence de ∑n≥1xnn(n+1)\displaystyle\sum_{n \geq 1} \frac{x^n}{n(n+1)}.
  2. Calculer sa somme S(x)S(x) pour 0<∣x∣<10 < |x| < 1.
  3. En déduire S(12)S\left(\frac{1}{2}\right).

Indications

Indication 1

Décomposer 1n(n+1)=1n−1n+1\dfrac{1}{n(n+1)} = \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n+1}.

Indication 2

∑n≥1xnn=−ln⁡(1−x)\displaystyle\sum_{n \geq 1} \frac{x^n}{n} = -\ln(1 - x) pour ∣x∣<1|x| < 1.

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