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L2L3MPPSIdifficulté 3/5Analysepar XiMaths▲ Utile · 0

Énoncé

Pour x∈Rx \in \R, on pose F(x)=∫0+∞e−tsin⁡(xt)t dtF(x) = \displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-t} \frac{\sin(xt)}{t}\,\mathrm{d}t.

  1. Montrer que FF est définie et de classe C1C^1 sur R\R.
  2. Calculer F′(x)F'(x), puis F(x)F(x).
  3. En déduire F(1)F(1).

Indications

Indication 1

∣sin⁡(xt)∣≤∣x∣t|\sin(xt)| \leq |x|t, et ∣∂∂x(e−tsin⁡(xt)t)∣≤e−t\left|\dfrac{\partial}{\partial x}\left(e^{-t}\dfrac{\sin(xt)}{t}\right)\right| \leq e^{-t} : domination.

Indication 2

∫0+∞e−tcos⁡(xt) dt=11+x2\displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-t}\cos(xt)\,\mathrm{d}t = \frac{1}{1 + x^2} (partie réelle de ∫e(−1+ix)t\int e^{(-1 + ix)t}).

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