Deux normes non équivalentes sur R[X]

Pour $P = \sum_k a_k X^k \in \R[X]$, on pose $N_1(P) = \sum_k |a_k|$ et $N_\infty(P) = \displaystyle\sup_{x \in [0, 1]} |P(x)|$.

1. Montrer que $N_1$ et $N_\infty$ sont des normes sur $\R[X]$, et que $N_\infty \leq N_1$.
2. Montrer qu'elles ne sont pas équivalentes.