La distance à un fermé est atteinte en dimension finie

L2 L3 MP PSIdifficulté 2/5Topologiepar XiMaths▲ Utile · 0

Énoncé

Soit $E$ un espace vectoriel normé de dimension finie, $F$ un fermé non vide de $E$ et $a \in E$ .

Montrer qu'il existe $y_0 \in F$ tel que $\|a - y_0\| = d(a, F) = \displaystyle\inf_{y \in F} \|a - y\|$ .

Indication 1

Prendre une suite $(y_n)$ de $F$ telle que $\|a - y_n\| \to d(a, F)$ : elle est bornée.

Indication 2

En dimension finie, une suite bornée admet une sous-suite convergente ; sa limite est dans $F$ , fermé.

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