Intégrale de Gauss par la méthode de l'intégrale à paramètre

L2 L3 MP PC PSIdifficulté 3/5Analysepar XiMaths▲ Utile · 0

Énoncé

Pour $x \in \R$ , on pose $F(x) = \displaystyle\int_0^1 \frac{e^{-x^2(1 + t^2)}}{1 + t^2}\,\mathrm{d}t$ et $G(x) = \left(\displaystyle\int_0^x e^{-t^2}\,\mathrm{d}t\right)^2$ .

Montrer que $F + G$ est constante sur $\R$ , égale à $\dfrac{\pi}{4}$ .
En déduire la valeur de $\displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-t^2}\,\mathrm{d}t$ .

Indications

Indication 1

Dériver $F$ sous l'intégrale, puis poser $u = xt$ dans l'expression obtenue.

Indication 2

$F(0) = \dfrac{\pi}{4}$ , et $|F(x)| \leq e^{-x^2}$ tend vers $0$ .

Ta solution

Connecte-toi pour proposer une solution : trois membres la reliront.

Solutions validées

Aucune solution validée pour l'instant : cet exercice attend sa première.

Licence CC BY-SA 4.0.