Matrices symétriques et antisymétriques sont orthogonales

Énoncé

On munit $M_n(\R)$ du produit scalaire $(A \mid B) = \operatorname{tr}(A^\top B)$ .

Montrer que les sous-espaces $S_n(\R)$ et $A_n(\R)$ des matrices symétriques et antisymétriques sont orthogonaux et supplémentaires.
En déduire la distance de $M = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ à $S_2(\R)$ .

Indication 1

Pour $S$ symétrique et $A$ antisymétrique, $\operatorname{tr}(SA) = \operatorname{tr}((SA)^\top) = -\operatorname{tr}(AS)$ .

Indication 2

Le projeté orthogonal de $M$ sur $S_n(\R)$ est $\dfrac{M + M^\top}{2}$ .

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