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Extremums de f(x, y) = x³ + y³ − 3xy

L2MPPCPSIPTdifficulté 2/5Analysepar XiMaths▲ Utile · 0

Énoncé

Soit f(x,y)=x3+y3−3xyf(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy sur R2\R^2.

  1. Déterminer les points critiques de ff.
  2. Étudier la nature de chacun et donner la valeur du minimum local.
  3. Ce minimum est-il global ?

Indications

Indication 1

Points critiques : x2=yx^2 = y et y2=xy^2 = x, d'où (0,0)(0, 0) et (1,1)(1, 1).

Indication 2

Utiliser la hessienne, ou étudier f(x,x)f(x, x) et f(x,−x)f(x, -x) près de (0,0)(0, 0).

Indication 3

Pour 3, regarder f(x,0)f(x, 0) quand x→−∞x \to -\infty.

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