← Tous les exercices

Maximum d'une forme quadratique sur le cercle unité

L2 MP PC PSI PTdifficulté 2/5Algèbre linéairepar XiMaths▲ Utile · 0

Énoncé

Soit $A \in S_n(\R)$ de valeurs propres $\lambda_1 \leq \dots \leq \lambda_n$ . Montrer que $\lambda_1 \|X\|^2 \leq X^\top A X \leq \lambda_n \|X\|^2$ pour tout $X \in \R^n$ .
En déduire le maximum de $2x^2 + 2xy + 2y^2$ sur le cercle $x^2 + y^2 = 1$ .

Indications

Indication 1

Théorème spectral : écrire $X$ dans une base orthonormée de vecteurs propres de $A$ .

Indication 2

La forme s'écrit $X^\top A X$ avec $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ .

Ta solution

Connecte-toi pour proposer une solution : trois membres la reliront.

Solutions validées

Aucune solution validée pour l'instant : cet exercice attend sa première.

Licence CC BY-SA 4.0.