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Intégrale de ln x/(1 + x) sur [0, 1]

L2L3MPPSIdifficulté 3/5Analysepar XiMaths▲ Utile · 0

Énoncé

Montrer que ∫01ln⁡x1+x dx=∑n=0+∞(−1)n+1(n+1)2\displaystyle\int_0^1 \frac{\ln x}{1 + x}\,\mathrm{d}x = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)^2}, puis calculer cette intégrale, sachant que ∑n≥11n2=π26\displaystyle\sum_{n \geq 1} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}.

Indications

Indication 1

Développer 11+x=∑n≥0(−1)nxn\dfrac{1}{1 + x} = \sum_{n \geq 0} (-1)^n x^n et intégrer terme à terme, en justifiant l'échange.

Indication 2

∫01xnln⁡x dx=−1(n+1)2\displaystyle\int_0^1 x^n \ln x\,\mathrm{d}x = -\frac{1}{(n+1)^2}.

Indication 3

∑n≥1(−1)n+1n2=π212\displaystyle\sum_{n \geq 1} \frac{(-1)^{n+1}}{n^2} = \frac{\pi^2}{12} : séparer termes pairs et impairs.

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