Transformée de Fourier de la gaussienne par une équation différentielle

L3 M1difficulté 2/5Analysepar XiMaths▲ Utile · 0

Énoncé

Soit $f(x) = e^{-x^2}$ et $\hat{f}(\xi) = \displaystyle\int_{\R} f(x) e^{-ix\xi}\,\mathrm{d}x$ .

Montrer que $\hat{f}$ est dérivable et que $\hat{f}'(\xi) = -\dfrac{\xi}{2}\hat{f}(\xi)$ .
En déduire $\hat{f}(\xi)$ , sachant que $\displaystyle\int_{\R} e^{-x^2}\,\mathrm{d}x = \sqrt{\pi}$ , puis $\hat{f}(2)$ .

Indication 1

Dériver sous l'intégrale (domination par $|x|e^{-x^2}$ ), puis intégrer par parties avec $-2xe^{-x^2} = f'(x)$ .

Indication 2

Résoudre l'équation différentielle linéaire avec $\hat{f}(0) = \sqrt{\pi}$ .

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