Une isométrie d'un compact dans lui-même est surjective

L3 M1difficulté 4/5Topologiepar XiMaths▲ Utile · 0

Énoncé

Soit $(K, d)$ un espace métrique compact et $f : K \to K$ telle que $d(f(x), f(y)) = d(x, y)$ pour tous $x, y$ .

Montrer que $f$ est surjective.

Indication 1

Par l'absurde : si $a \notin f(K)$ , alors $\varepsilon = d(a, f(K)) > 0$ car $f(K)$ est compact.

Indication 2

Considérer la suite $a_n = f^n(a)$ et montrer que $d(a_n, a_m) \geq \varepsilon$ pour $n \neq m$ .

Indication 3

Une telle suite n'a aucune sous-suite convergente.

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