Les rationnels ne sont pas un G-delta

L3 M1difficulté 4/5Topologiepar XiMaths▲ Utile · 0

Énoncé

Montrer que $\Q$ n'est pas une intersection dénombrable d'ouverts de $\R$ .

Indications

Indication 1

Supposer $\Q = \bigcap_{n} U_n$ avec $U_n$ ouvert : chaque $U_n$ est dense.

Indication 2

Les ouverts denses $V_q = \R \setminus \{q\}$ , $q \in \Q$ , sont aussi en quantité dénombrable : appliquer le théorème de Baire à la famille des $U_n$ et des $V_q$ .

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