L'opérateur de Volterra n'a aucune valeur propre

L3 M1difficulté 3/5Analysepar XiMaths▲ Utile · 0

Énoncé

Sur $E = C([0, 1], \R)$ muni de la norme uniforme, on définit $V(f)(x) = \displaystyle\int_0^x f(t)\,\mathrm{d}t$ .

Montrer que $V$ est un endomorphisme continu de $E$ et qu'il n'a aucune valeur propre.
Montrer que $|V^n(f)(x)| \leq \dfrac{x^n}{n!}\|f\|_\infty$ , puis que $\|V^n\|^{1/n} \to 0$ .

Indication 1

Si $V(f) = \lambda f$ avec $\lambda \neq 0$ , alors $f$ est $C^1$ , $f' = \dfrac{f}{\lambda}$ et $f(0) = 0$ .

Indication 2

Le cas $\lambda = 0$ se traite en dérivant $\displaystyle\int_0^x f = 0$ .

Indication 3

Pour 2, raisonner par récurrence sur $n$ .

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