Minimum de n variables uniformes : convergence en loi

L3 M1difficulté 2/5Probabilitéspar XiMaths▲ Utile · 0

Énoncé

Soit $(U_k)$ une suite de variables indépendantes de loi uniforme sur $[0, 1]$ , et $M_n = \min(U_1, \dots, U_n)$ .

Calculer $P(n M_n > x)$ pour $x \geq 0$ .
Montrer que $n M_n$ converge en loi vers une loi exponentielle, et donner $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} P(n M_n > 1)$ .

Indication 1

$\{M_n > y\} = \bigcap_k \{U_k > y\}$ , donc $P(M_n > y) = (1 - y)^n$ pour $y \in [0, 1]$ .

Indication 2

$\left(1 - \dfrac{x}{n}\right)^n \to e^{-x}$ .

Connecte-toi pour proposer une solution : trois membres la reliront.

Aucune solution validée pour l'instant : cet exercice attend sa première.