Processus de Poisson : nombre d'arrivées sur un intervalle

L3 M1difficulté 1/5Probabilitéspar XiMaths▲ Utile · 0

Énoncé

Des clients arrivent selon un processus de Poisson d'intensité $1$ par minute : le nombre d'arrivées sur un intervalle de durée $t$ suit une loi de Poisson de paramètre $t$ , et les nombres d'arrivées sur des intervalles disjoints sont indépendants.

Calculer la probabilité qu'exactement 3 clients arrivent en 2 minutes.
Sachant que 3 clients sont arrivés en 2 minutes, quelle est la probabilité qu'aucun ne soit arrivé pendant la première minute ?

Indications

Indication 1

$P(N = k) = e^{-t}\dfrac{t^k}{k!}$ pour une loi de Poisson de paramètre $t$ .

Indication 2

Pour 2, écrire $N_2 = N_1 + (N_2 - N_1)$ avec deux termes indépendants de loi $\mathcal{P}(1)$ .

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