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Dérivées de la valeur absolue au sens des distributions

L3M1M2difficulté 2/5Analysepar XiMaths▲ Utile · 0

Énoncé

Soit TT la distribution sur R\R associée à la fonction x↦∣x∣x \mapsto |x|.

Calculer T′T' et T′′T'' au sens des distributions.

Indications

Indication 1

Pour φ∈Cc∞(R)\varphi \in C_c^\infty(\R), ⟨T′,φ⟩=−∫R∣x∣φ′(x) dx\langle T', \varphi \rangle = -\displaystyle\int_{\R} |x| \varphi'(x)\,\mathrm{d}x : couper en 00 et intégrer par parties.

Indication 2

On trouve T′=sgn⁡T' = \operatorname{sgn}, puis T′′=2δ0T'' = 2\delta_0.

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Solutions validées

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