Inégalité de Poincaré sur ]0, 1[ et sa constante optimale

L3 M1 M2difficulté 3/5Analysepar XiMaths▲ Utile · 0

Énoncé

Soit $u \in C^1([0, 1])$ telle que $u(0) = u(1) = 0$ .

Montrer que $\displaystyle\int_0^1 u^2 \leq \frac{1}{2} \int_0^1 u'^2$ .
À l'aide du développement de $u$ en série de sinus $u(x) = \sum_{k \geq 1} b_k \sin(k\pi x)$ , déterminer la meilleure constante $C$ telle que $\displaystyle\int_0^1 u^2 \leq C \int_0^1 u'^2$ pour toute telle fonction $u$ .

Indication 1

Pour 1, $u(x) = \displaystyle\int_0^x u'$ , puis l'inégalité de Cauchy-Schwarz : $u(x)^2 \leq x \int_0^1 u'^2$ .

Indication 2

Pour 2, Parseval : $\displaystyle\int_0^1 u^2 = \frac{1}{2}\sum b_k^2$ et $\displaystyle\int_0^1 u'^2 = \frac{1}{2}\sum k^2 \pi^2 b_k^2$ .

Indication 3

Regarder $u(x) = \sin(\pi x)$ .

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