Loi forte des grands nombres avec un moment d'ordre 4

Soit $(X_n)_{n \geq 1}$ une suite de variables aléatoires réelles indépendantes, de même loi, centrées et telles que $E[X_1^4] < +\infty$. On pose $S_n = X_1 + \dots + X_n$.

1. Montrer que $E[S_n^4] = n\,E[X_1^4] + 3n(n-1)\,E[X_1^2]^2$.
2. En déduire que $\dfrac{S_n}{n} \to 0$ presque sûrement.