Temps de sortie d'une marche aléatoire

M1 M2difficulté 4/5Probabilitéspar XiMaths▲ Utile · 0

Énoncé

Soit $(S_n)_{n \geq 0}$ la marche aléatoire simple symétrique sur $\Z$ issue de $S_0 = 2$ : ses pas valent $+1$ ou $-1$ avec probabilité $\frac{1}{2}$ , indépendamment. On note $T = \inf\{n \geq 0 : S_n \in \{0, 5\}\}$ .

Montrer que $T$ est presque sûrement fini et calculer $E[T]$ .

Indications

Indication 1

Montrer que $(S_n^2 - n)_{n \geq 0}$ est une martingale.

Indication 2

Appliquer le théorème d'arrêt à $T \wedge n$ , puis faire tendre $n$ vers $+\infty$ . La probabilité de sortir par $5$ vaut $\frac{2}{5}$ .

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