Injection de Sobolev en dimension un

M1 M2difficulté 4/5Analysepar XiMaths▲ Utile · 0

Énoncé

Soit $u \in C^1([0, 1])$ . Montrer que pour tous $x, y \in [0, 1]$ ,

|u(x) - u(y)| \leq |x - y|^{1/2} \, \|u'\|_{L^2(0, 1)}.

En déduire que toute fonction de $H^1(0, 1)$ admet un représentant continu, et même höldérien d'exposant $\frac{1}{2}$ .

Indication 1

Écrire $u(x) - u(y) = \int_y^x u'(t)\,dt$ et appliquer l'inégalité de Cauchy-Schwarz.

Indication 2

Pour la seconde partie, utiliser la densité de $C^1([0, 1])$ dans $H^1(0, 1)$ .

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