Problème de Dirichlet par Lax-Milgram

Soit $f \in L^2(0, 1)$. On cherche $u \in H^1_0(0, 1)$ telle que $-u'' + u = f$ au sens faible :

$$\forall v \in H^1_0(0, 1), \quad \int_0^1 (u'v' + uv) = \int_0^1 f v.$$

Montrer qu'il existe une unique telle fonction $u$, et que $\|u\|_{H^1} \leq \|f\|_{L^2}$.