Moment d'ordre 4 du mouvement brownien

M2difficulté 3/5Probabilitéspar XiMaths▲ Utile · 0

Énoncé

Soit $(B_t)_{t \geq 0}$ un mouvement brownien standard. À l'aide de la formule d'Itô appliquée à $x \mapsto x^4$ , calculer $E[B_t^4]$ pour $t \geq 0$ .

Indications

Indication 1

La formule d'Itô donne $B_t^4 = 4\int_0^t B_s^3\,dB_s + 6\int_0^t B_s^2\,ds$ .

Indication 2

L'intégrale stochastique est d'espérance nulle et $E[B_s^2] = s$ .

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