Ruine du joueur, cas équitable

L3 M1 M2difficulté 3/5Probabilitéspar XiMaths▲ Utile · 0

Énoncé

Un joueur possède $3$ euros. À chaque partie, il gagne ou perd $1$ euro avec probabilité $\frac{1}{2}$ , indépendamment des parties précédentes. Il s'arrête dès qu'il est ruiné ou qu'il possède $10$ euros.

Quelle est la probabilité qu'il atteigne $10$ euros ?

Indications

Indication 1

Sa fortune $(X_n)$ arrêtée au temps de sortie $T$ est une martingale bornée.

Indication 2

Le théorème d'arrêt donne $E[X_T] = 3$ , avec $X_T \in \{0, 10\}$ .

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Solutions validées

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