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Produit autour des racines de l'unité

L1MPSIMP2IPCSIdifficulté 2/5Algèbrepar XiMaths▲ Utile · 0

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Soit n≥2n \geq 2 et ω=e2iπ/n\omega = e^{2i\pi/n}.

  1. Montrer que ∑k=0n−1ωk=0\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \omega^k = 0.
  2. Calculer ∏k=1n−1(1−ωk)\displaystyle\prod_{k=1}^{n-1} (1 - \omega^k).

Indications

Indication 1

Pour 2, factoriser Xn−1=∏k=0n−1(X−ωk)X^n - 1 = \prod_{k=0}^{n-1} (X - \omega^k), diviser par X−1X - 1 et évaluer en 11.

Indication 2

Xn−1X−1=1+X+⋯+Xn−1\dfrac{X^n - 1}{X - 1} = 1 + X + \dots + X^{n-1}.

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