Fonctions additives sur les rationnels

Énoncé

Soit $f : \R \to \R$ telle que $f(x + y) = f(x) + f(y)$ pour tous réels $x$ et $y$ .

Montrer que $f(x) = f(1)\,x$ pour tout $x \in \Q$ .

Indication 1

Calculer $f(0)$ , puis $f(-x)$ en fonction de $f(x)$ .

Indication 2

Montrer $f(nx) = n f(x)$ pour $n \in \N$ , puis appliquer cette relation à $x = \frac{p}{q}$ avec $n = q$ .

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