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Une série entière à coefficients polynomiaux

L2MPPCPSIdifficulté 2/5Analysepar XiMaths▲ Utile · 0

Énoncé

  1. Déterminer le rayon de convergence RR de la série entière ∑n≥1n2xn\displaystyle\sum_{n \geq 1} n^2 x^n, puis calculer sa somme sur ]−R,R[]-R, R[.
  2. En déduire la valeur de ∑n≥1n22n\displaystyle\sum_{n \geq 1} \frac{n^2}{2^n}.

Indications

Indication 1

Appliquer deux fois xddxx \dfrac{d}{dx} à ∑n≥0xn=11−x\displaystyle\sum_{n \geq 0} x^n = \frac{1}{1 - x}.

Indication 2

On trouve ∑n≥1n2xn=x(1+x)(1−x)3\displaystyle\sum_{n \geq 1} n^2 x^n = \frac{x(1 + x)}{(1 - x)^3}.

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