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Intégrale de Dirichlet

L3MPdifficulté 4/5Analysepar XiMaths▲ Utile · 0

Énoncé

  1. Montrer que l'intégrale ∫0+∞sin⁡xx dx\displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x}\,dx converge, mais pas absolument.
  2. Pour t>0t > 0, on pose F(t)=∫0+∞e−txsin⁡xx dxF(t) = \displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-tx} \frac{\sin x}{x}\,dx. Montrer que FF est dérivable sur ]0,+∞[]0, +\infty[ et calculer F′(t)F'(t).
  3. En admettant que FF est continue en 00, calculer ∫0+∞sin⁡xx dx\displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x}\,dx.

Indications

Indication 1

Pour 1, intégrer par parties sur [1,X][1, X] ; pour l'absence de convergence absolue, minorer ∫kπ(k+1)π∣sin⁡x∣x dx\int_{k\pi}^{(k+1)\pi} \frac{|\sin x|}{x}\,dx.

Indication 2

F′(t)=−11+t2F'(t) = -\dfrac{1}{1 + t^2} et F(t)→0F(t) \to 0 quand t→+∞t \to +\infty.

Ta solution

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Solutions validées

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