Meilleure approximation affine dans L2

Énoncé

On munit $C([0, 1])$ du produit scalaire $\langle f, g \rangle = \displaystyle\int_0^1 f g$ .

Déterminer $\displaystyle\min_{(a, b) \in \R^2} \int_0^1 \left(x^2 - a x - b\right)^2 dx$ .

Indication 1

Le minimum est atteint pour la projection orthogonale de $x \mapsto x^2$ sur $\operatorname{Vect}(1, x)$ .

Indication 2

Écrire les conditions d'orthogonalité : $\langle x^2 - ax - b, 1 \rangle = \langle x^2 - ax - b, x \rangle = 0$ .

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