Commutant d'une matrice diagonale

L2 MP PC PSIdifficulté 2/5Algèbre linéairepar XiMaths▲ Utile · 0

Énoncé

Soit $D = \operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$ une matrice diagonale de $\mathcal{M}_n(\R)$ dont les coefficients diagonaux sont deux à deux distincts.

Montrer que les matrices qui commutent avec $D$ sont exactement les matrices diagonales, et donner la dimension de cet espace.

Indications

Indication 1

Comparer les coefficients d'indice $(i, j)$ de $MD$ et de $DM$ : $m_{ij}\lambda_j = \lambda_i m_{ij}$ .

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