Méthode de Héron pour approcher racine de 2

Énoncé

On définit la suite $(u_n)$ par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \dfrac{1}{2}\left(u_n + \dfrac{2}{u_n}\right)$ .

Montrer que $u_n > 0$ pour tout $n$ , puis que $u_n \geq \sqrt{2}$ pour tout $n \geq 1$ .
Montrer que $(u_n)_{n \geq 1}$ est décroissante, puis qu'elle converge ; déterminer sa limite.
Établir $u_{n+1} - \sqrt{2} = \dfrac{(u_n - \sqrt{2})^2}{2u_n}$ et commenter la vitesse de convergence.

Indication 1

Pour 1, $u_{n+1} - \sqrt{2} = \dfrac{(u_n - \sqrt{2})^2}{2u_n}$ règle tout d'un coup.

Indication 2

Pour 2, calculer $u_{n+1} - u_n = \dfrac{2 - u_n^2}{2u_n}$ .

Indication 3

La limite $\ell$ vérifie $\ell = \dfrac{1}{2}\left(\ell + \dfrac{2}{\ell}\right)$ et $\ell \geq \sqrt{2}$ .

Connecte-toi pour proposer une solution : trois membres la reliront.

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