Une série dérivée

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Énoncé

Justifier la convergence de la série $\displaystyle\sum_{n \geq 1} \frac{n}{2^n}$ et calculer sa somme.

Indication 1

Pour $|x| < 1$ , dériver terme à terme $\displaystyle\sum_{n \geq 0} x^n = \frac{1}{1-x}$ .

Indication 2

En déduire $\displaystyle\sum_{n \geq 1} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2}$ , puis prendre $x = \frac{1}{2}$ .

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