Image réciproque, image directe et intersection

Énoncé

Soit $f : E \to F$ une application, $A$ et $B$ deux parties de $F$ , $C$ et $D$ deux parties de $E$ .

Montrer que $f^{-1}(A \cap B) = f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B)$ .
Montrer que $f(C \cap D) \subset f(C) \cap f(D)$ , et trouver un exemple où l'inclusion est stricte.
Montrer que l'égalité a lieu pour toutes parties $C, D$ si $f$ est injective.

Indication 1

Pour 1, raisonner par équivalences sur l'appartenance d'un élément.

Indication 2

Pour 2, prendre $f(x) = x^2$ sur $\R$ , $C = \{-1\}$ et $D = \{1\}$ .

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