Relation d'équivalence x − y entier

L1 MPSI MP2Idifficulté 1/5Algèbrepar XiMaths▲ Utile · 0

Énoncé

Sur $\R$ , on pose $x \mathrel{\mathcal{R}} y$ si $x - y \in \Z$ .

Montrer que $\mathcal{R}$ est une relation d'équivalence.
Montrer que chaque classe d'équivalence contient un et un seul élément de $[0, 1[$ .

Indication 1

Pour la transitivité, $x - z = (x - y) + (y - z)$ .

Indication 2

Pour l'existence, penser à $x - \lfloor x \rfloor$ ; pour l'unicité, deux éléments de $[0, 1[$ diffèrent de moins de $1$ .

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