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Encadrement de ln(1 + x) par les accroissements finis

L1 MPSI MP2I PCSI PTSIdifficulté 1/5Analysepar XiMaths▲ Utile · 0

Énoncé

Montrer que pour tout $x > 0$ , $\dfrac{x}{1 + x} < \ln(1 + x) < x$ .
En déduire $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ .

Indications

Indication 1

Appliquer le théorème des accroissements finis à $\ln$ entre $1$ et $1 + x$ .

Indication 2

Pour 2, encadrer $n \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right)$ .

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