Nature et aire de la conique x² + xy + y² = 1

Énoncé

Déterminer la nature de la courbe d'équation $x^2 + xy + y^2 = 1$ , ses axes de symétrie, puis l'aire du domaine $x^2 + xy + y^2 \leq 1$ .

Indication 1

Tourner le repère de $\dfrac{\pi}{4}$ : poser $x = \dfrac{u - v}{\sqrt{2}}$ et $y = \dfrac{u + v}{\sqrt{2}}$ .

Indication 2

On obtient $\dfrac{3}{2}u^2 + \dfrac{1}{2}v^2 = 1$ ; l'aire d'une ellipse de demi-axes $a$ et $b$ vaut $\pi ab$ .

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