Convergence simple mais non uniforme de n x e^(−nx)

Pour $n \geq 1$ et $x \geq 0$, on pose $f_n(x) = n x e^{-nx}$.

1. Étudier la convergence simple de $(f_n)$ sur $[0, +\infty[$.
2. Calculer $\displaystyle\sup_{x \geq 0} f_n(x)$. La convergence est-elle uniforme sur $[0, +\infty[$ ?
3. Montrer qu'elle est uniforme sur $[a, +\infty[$ pour tout $a > 0$.