Somme des 1/n² par une série de Fourier

Soit $f$ la fonction $2\pi$-périodique telle que $f(x) = x^2$ pour $x \in [-\pi, \pi]$.

1. Calculer les coefficients de Fourier de $f$.
2. Justifier que la série de Fourier de $f$ converge vers $f$ en tout point.
3. En déduire $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}$.