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Série de Leibniz : somme des (−1)^n/(2n + 1)

L2 MP PC PSI PTdifficulté 2/5Analysepar XiMaths▲ Utile · 0

Énoncé

Pour $N \geq 0$ , montrer que $\displaystyle\sum_{n=0}^{N} \frac{(-1)^n}{2n+1} = \int_0^1 \frac{1 - (-t^2)^{N+1}}{1 + t^2}\,\mathrm{d}t$ .
En déduire la somme $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1}$ .

Indications

Indication 1

$\dfrac{1}{2n+1} = \displaystyle\int_0^1 t^{2n}\,\mathrm{d}t$ , puis sommer une suite géométrique.

Indication 2

Majorer le reste : $\displaystyle\int_0^1 \frac{t^{2N+2}}{1 + t^2}\,\mathrm{d}t \leq \frac{1}{2N+3}$ .

Ta solution

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Solutions validées

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