Fonction Gamma : relation fonctionnelle et Γ(5/2)

Pour $x > 0$, on pose $\Gamma(x) = \displaystyle\int_0^{+\infty} t^{x-1} e^{-t}\,\mathrm{d}t$.

1. Justifier que cette intégrale converge.
2. Montrer que $\Gamma(x + 1) = x\,\Gamma(x)$, puis que $\Gamma(n + 1) = n!$.
3. Sachant que $\displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-u^2}\,\mathrm{d}u = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$, calculer $\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)$ puis $\Gamma\left(\frac{5}{2}\right)$.