Déterminants

Cadre et notations

Dans toute la fiche, $\K = \R$ ou $\C$, $n \in \N^*$, et $A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(\K)$, de colonnes $C_1, \dots, C_n$.

Définition et propriétés

Théorème (définition). Il existe une unique application $\det : \mathcal{M}_n(\K) \to \K$ qui soit linéaire par rapport à chaque colonne, alternée (nulle dès que deux colonnes sont égales) et telle que $\det I_n = 1$.

Proposition. Pour tous $A, B \in \mathcal{M}_n(\K)$ et $\lambda \in \K$ :

1. $\det(A^\top) = \det A$ ; tout ce qui vaut pour les colonnes vaut donc pour les lignes ;
2. $\det(AB) = \det A \, \det B$ ;
3. $\det(\lambda A) = \lambda^n \det A$ ;
4. $A$ est inversible si et seulement si $\det A \neq 0$, et alors $\det(A^{-1}) = \dfrac{1}{\det A}$.

Opérations élémentaires. Échanger deux colonnes change le déterminant en son opposé ; multiplier une colonne par $\lambda$ le multiplie par $\lambda$ ; ajouter à une colonne une combinaison linéaire des autres colonnes ne le change pas.

Attention : en général, $\det(A + B) \neq \det A + \det B$.

Calcul

Proposition. Le déterminant d'une matrice triangulaire est le produit de ses coefficients diagonaux. Plus généralement, si $A$ et $D$ sont des matrices carrées :

$$\det \begin{pmatrix} A & B \\ 0 & D \end{pmatrix} = \det A \, \det D.$$

Théorème (développement selon une colonne ou une ligne). On note $\Delta_{ij}$ le déterminant de la matrice obtenue en supprimant la ligne $i$ et la colonne $j$ de $A$ (le mineur d'indice $(i, j)$). Pour tout $j \in [\![1, n]\!]$ et tout $i \in [\![1, n]\!]$ :

$$\det A = \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+j} a_{ij} \Delta_{ij} = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} a_{ij} \Delta_{ij}.$$

La première somme développe selon la colonne $j$, la seconde selon la ligne $i$.

Proposition (comatrice). La comatrice de $A$ est $\operatorname{Com}(A) = \big( (-1)^{i+j} \Delta_{ij} \big)_{1 \leq i, j \leq n}$. Alors

$$A \operatorname{Com}(A)^\top = \operatorname{Com}(A)^\top A = \det(A) \, I_n,$$

et si $A$ est inversible, $A^{-1} = \dfrac{1}{\det A} \operatorname{Com}(A)^\top$.

Déterminant de Vandermonde. Pour $x_1, \dots, x_n \in \K$ :

$$\det \big( x_i^{\, j-1} \big)_{1 \leq i, j \leq n} = \prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_j - x_i).$$

Il est non nul si et seulement si les $x_i$ sont deux à deux distincts.

Déterminant d'une famille, d'un endomorphisme

Soit $E$ de dimension $n$, de base $\mathcal{B}$. Le déterminant dans la base $\mathcal{B}$ d'une famille $(x_1, \dots, x_n)$ de vecteurs de $E$ est le déterminant de la matrice de leurs coordonnées dans $\mathcal{B}$ : la famille est une base de $E$ si et seulement si ce déterminant est non nul.

Deux matrices semblables ont le même déterminant ; le déterminant d'un endomorphisme $u$ de $E$ est celui de sa matrice dans n'importe quelle base. On a $\det(v \circ u) = \det v \, \det u$, et $u$ est bijectif si et seulement si $\det u \neq 0$.

Pièges fréquents

• Écrire $\det(\lambda A) = \lambda \det A$ : le bon facteur est $\lambda^n$.
• Ajouter à une colonne un multiple d'elle-même : c'est une multiplication de la colonne, qui change le déterminant.
• Oublier les signes $(-1)^{i+j}$ dans un développement.