Espaces vectoriels et applications linéaires

Cadre et notations

Dans toute la fiche, $\K = \R$ ou $\C$, et $E$, $F$ sont des $\K$-espaces vectoriels. On note $\mathcal{L}(E, F)$ l'ensemble des applications linéaires de $E$ dans $F$, et $\mathcal{L}(E) = \mathcal{L}(E, E)$.

Sous-espaces vectoriels

Définition. Une partie $G$ de $E$ est un sous-espace vectoriel de $E$ si $0_E \in G$ et si $\lambda x + \mu y \in G$ pour tous $x, y \in G$ et $\lambda, \mu \in \K$.

L'intersection de deux sous-espaces est un sous-espace ; leur réunion, en général, non.

Définition. Soient $G$ et $H$ deux sous-espaces de $E$. Leur somme est $G + H = \{ x + y : x \in G, \ y \in H \}$. Elle est directe, notée $G \oplus H$, si tout vecteur de $G + H$ s'écrit de façon unique $x + y$ avec $x \in G$ et $y \in H$ ; c'est le cas si et seulement si $G \cap H = \{0_E\}$. Les sous-espaces $G$ et $H$ sont supplémentaires dans $E$ si $E = G \oplus H$.

Familles de vecteurs

Une famille $(x_1, \dots, x_p)$ de vecteurs de $E$ est libre si $\sum_{i=1}^{p} \lambda_i x_i = 0$ entraîne $\lambda_1 = \dots = \lambda_p = 0$ ; génératrice si tout vecteur de $E$ est combinaison linéaire des $x_i$ ; c'est une base si elle est libre et génératrice, c'est-à-dire si tout vecteur de $E$ s'écrit de façon unique comme combinaison linéaire des $x_i$.

Dimension finie

Un espace $E$ est de dimension finie s'il admet une famille génératrice finie.

Théorème (base incomplète). Soit $E$ de dimension finie. Toute famille libre de $E$ peut être complétée en une base de $E$ par des vecteurs pris dans une famille génératrice donnée. En particulier, $E$ admet une base, et toutes ses bases ont le même nombre d'éléments : la dimension de $E$, notée $\dim E$.

Proposition. Soit $E$ de dimension $n$.

1. Une famille libre de $E$ a au plus $n$ éléments ; une famille génératrice en a au moins $n$.
2. Une famille de $n$ vecteurs est une base si et seulement si elle est libre, si et seulement si elle est génératrice.
3. Tout sous-espace $G$ de $E$ est de dimension finie, $\dim G \leq n$, et $\dim G = n$ si et seulement si $G = E$.

Formule de Grassmann. Si $G$ et $H$ sont deux sous-espaces de dimension finie de $E$ :

$$\dim(G + H) = \dim G + \dim H - \dim(G \cap H).$$

Si $E$ est de dimension finie : $E = G \oplus H$ si et seulement si $G \cap H = \{0_E\}$ et $\dim G + \dim H = \dim E$.

Applications linéaires

Définition. Une application $u : E \to F$ est linéaire si $u(\lambda x + \mu y) = \lambda u(x) + \mu u(y)$ pour tous $x, y \in E$ et $\lambda, \mu \in \K$. Son noyau est $\operatorname{Ker} u = \{ x \in E : u(x) = 0_F \}$ et son image est $\operatorname{Im} u = u(E)$ ; ce sont des sous-espaces de $E$ et de $F$.

Proposition. Soit $u \in \mathcal{L}(E, F)$.

1. $u$ est injective si et seulement si $\operatorname{Ker} u = \{0_E\}$.
2. Si $(e_1, \dots, e_n)$ engendre $E$, alors $\big( u(e_1), \dots, u(e_n) \big)$ engendre $\operatorname{Im} u$.
3. Si $(e_1, \dots, e_n)$ est une base de $E$, une application linéaire de $E$ dans $F$ est entièrement déterminée par les images des $e_i$, qui peuvent être choisies arbitrairement dans $F$.

Lorsque $\operatorname{Im} u$ est de dimension finie, le rang de $u$ est $\operatorname{rg} u = \dim \operatorname{Im} u$.

Théorème du rang. Si $E$ est de dimension finie et $u \in \mathcal{L}(E, F)$, alors $\operatorname{Im} u$ est de dimension finie et

$$\dim E = \dim \operatorname{Ker} u + \operatorname{rg} u.$$

Corollaire. Si $E$ et $F$ sont de même dimension finie et $u \in \mathcal{L}(E, F)$, alors $u$ est injective si et seulement si $u$ est surjective, si et seulement si $u$ est bijective. C'est le cas en particulier pour $u \in \mathcal{L}(E)$ avec $E$ de dimension finie.

En dimension infinie, c'est faux : sur $\K[X]$, la dérivation $P \mapsto P'$ est surjective et n'est pas injective.

Projecteurs et symétries

Proposition. Soit $p \in \mathcal{L}(E)$ tel que $p \circ p = p$ (un projecteur). Alors $E = \operatorname{Ker} p \oplus \operatorname{Im} p$, et $p$ est la projection sur $\operatorname{Im} p$ parallèlement à $\operatorname{Ker} p$ ; de plus $\operatorname{Im} p = \operatorname{Ker}(p - \mathrm{id}_E)$.

Soit $s \in \mathcal{L}(E)$ tel que $s \circ s = \mathrm{id}_E$ (une symétrie). Alors $E = \operatorname{Ker}(s - \mathrm{id}_E) \oplus \operatorname{Ker}(s + \mathrm{id}_E)$, et $s$ est la symétrie par rapport au premier parallèlement au second.

Formes linéaires et hyperplans

Une forme linéaire sur $E$ est un élément de $\mathcal{L}(E, \K)$. Un hyperplan de $E$ est le noyau d'une forme linéaire non nulle. Si $E$ est de dimension finie $n \geq 1$, les hyperplans sont exactement les sous-espaces de dimension $n - 1$.

Pièges fréquents

• Confondre « supplémentaire » et « complémentaire » : un supplémentaire est un sous-espace, et il n'est pas unique.
• Déduire $E = \operatorname{Ker} u \oplus \operatorname{Im} u$ du théorème du rang : c'est faux en général (pour $u : (x, y) \mapsto (y, 0)$ sur $\K^2$, $\operatorname{Ker} u = \operatorname{Im} u$).
• Utiliser « injective $\iff$ surjective » hors de la dimension finie, ou entre deux espaces de dimensions différentes.