Polynômes

Cadre et notations

Dans toute la fiche, $\K = \R$ ou $\C$. On note $\K[X]$ l'ensemble des polynômes à coefficients dans $\K$, et $\K_n[X]$ celui des polynômes de degré au plus $n$. Par convention, $\deg 0 = -\infty$. Pour $P = \sum_{k=0}^{n} a_k X^k$ et $x \in \K$, $P(x) = \sum_{k=0}^{n} a_k x^k$.

Degré et division euclidienne

Proposition. Pour tous $P, Q \in \K[X]$ : $\deg(PQ) = \deg P + \deg Q$ et $\deg(P + Q) \leq \max(\deg P, \deg Q)$, avec égalité si $\deg P \neq \deg Q$.

Théorème (division euclidienne). Pour tous $A, B \in \K[X]$ avec $B \neq 0$, il existe un unique couple $(Q, R) \in \K[X]^2$ tel que

$$A = BQ + R \qquad \text{et} \qquad \deg R < \deg B.$$

Racines

Proposition. Soient $P \in \K[X]$ et $a \in \K$. Le reste de la division de $P$ par $X - a$ est $P(a)$ ; donc $a$ est racine de $P$ si et seulement si $(X - a)$ divise $P$.

Définition. Soient $P \in \K[X]$ non nul, $a \in \K$ et $m \in \N^*$. Le scalaire $a$ est racine de multiplicité $m$ de $P$ si $(X - a)^m$ divise $P$ et $(X - a)^{m+1}$ ne divise pas $P$.

Théorème (caractérisation par les dérivées). Soient $P \in \K[X]$ non nul, $a \in \K$ et $m \in \N^*$. Le scalaire $a$ est racine de multiplicité $m$ de $P$ si et seulement si

$$P(a) = P'(a) = \dots = P^{(m-1)}(a) = 0 \qquad \text{et} \qquad P^{(m)}(a) \neq 0.$$

Théorème. Un polynôme non nul de degré $n$ a au plus $n$ racines, comptées avec leur multiplicité. En conséquence, un polynôme de $\K_n[X]$ qui a au moins $n + 1$ racines distinctes est nul, et un polynôme qui a une infinité de racines est nul.

Formule de Taylor pour les polynômes. Pour tous $P \in \K[X]$ et $a \in \K$ :

$$P = \sum_{k=0}^{\deg P} \frac{P^{(k)}(a)}{k!} (X - a)^k.$$

Factorisation

Théorème (d'Alembert-Gauss). Tout polynôme non constant de $\C[X]$ admet au moins une racine dans $\C$.

Corollaire.

1. Tout polynôme $P \in \C[X]$ de degré $n \geq 1$ est scindé : $P = \lambda \prod_{k=1}^{n} (X - z_k)$, où $\lambda$ est le coefficient dominant de $P$ et $z_1, \dots, z_n$ ses racines, répétées selon leur multiplicité. Les polynômes irréductibles de $\C[X]$ sont ceux de degré $1$.
2. Les polynômes irréductibles de $\R[X]$ sont ceux de degré $1$ et ceux de degré $2$ à discriminant strictement négatif. Tout polynôme non constant de $\R[X]$ est produit de son coefficient dominant et de polynômes irréductibles unitaires.

Proposition. Si $P \in \R[X]$ et si $z \in \C$ est racine de $P$ de multiplicité $m$, alors $\overline{z}$ est racine de $P$ de même multiplicité $m$.

Relations entre coefficients et racines. Soit $P = \sum_{k=0}^{n} a_k X^k$ de degré $n \geq 1$, scindé, de racines $x_1, \dots, x_n$ répétées selon leur multiplicité. Pour $k \in [\![1, n]\!]$, on note $\sigma_k = \sum_{1 \leq i_1 < \dots < i_k \leq n} x_{i_1} \cdots x_{i_k}$. Alors

$$\sigma_k = (-1)^k \frac{a_{n-k}}{a_n} ; \qquad \text{en particulier} \quad \sum_{i=1}^{n} x_i = -\frac{a_{n-1}}{a_n}, \qquad \prod_{i=1}^{n} x_i = (-1)^n \frac{a_0}{a_n}.$$

Interpolation de Lagrange

Théorème. Soient $n \in \N$, des scalaires $x_0, \dots, x_n$ deux à deux distincts et $y_0, \dots, y_n \in \K$. Il existe un unique $P \in \K_n[X]$ tel que $P(x_i) = y_i$ pour tout $i \in [\![0, n]\!]$ :

$$P = \sum_{i=0}^{n} y_i L_i, \qquad \text{où} \quad L_i = \prod_{\substack{0 \leq j \leq n \\ j \neq i}} \frac{X - x_j}{x_i - x_j}.$$

Arithmétique dans $\K[X]$

La divisibilité, le PGCD (unitaire), la relation de Bézout et le lemme de Gauss se transposent de $\Z$ à $\K[X]$ : deux polynômes $A$ et $B$ sont premiers entre eux si et seulement s'il existe $U, V \in \K[X]$ tels que $AU + BV = 1$, et si $A$ divise $BC$ avec $A$ et $B$ premiers entre eux, alors $A$ divise $C$.

Pièges fréquents

• Oublier que $\deg 0 = -\infty$ dans les calculs de degré.
• Croire qu'un polynôme réel de degré $n$ a $n$ racines réelles : $X^2 + 1$ n'en a aucune.
• Confondre « $P$ a $n$ racines distinctes » et « $P$ a $n$ racines comptées avec multiplicité ».
• Confondre le polynôme $P$ et la fonction $x \mapsto P(x)$ dans un raisonnement de degré ou de dérivation formelle : sur $\K = \R$ ou $\C$, ils se déterminent l'un l'autre, mais les définitions sont différentes.