Nombres complexes et trigonométrie

Cadre et notations

Tout nombre complexe $z$ s'écrit de façon unique $z = a + ib$ avec $(a, b) \in \R^2$ : $a = \operatorname{Re} z$ est sa partie réelle, $b = \operatorname{Im} z$ sa partie imaginaire. Son conjugué est $\overline{z} = a - ib$ et son module est $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$. On note $\mathbb{U} = \{ z \in \C : |z| = 1 \}$.

Conjugué et module

Proposition. Pour tous $z, w \in \C$ :

$$\overline{z + w} = \overline{z} + \overline{w}, \qquad \overline{z w} = \overline{z} \, \overline{w}, \qquad z \overline{z} = |z|^2, \qquad |z w| = |z| \, |w|,$$ $$\operatorname{Re} z = \frac{z + \overline{z}}{2}, \qquad \operatorname{Im} z = \frac{z - \overline{z}}{2i}.$$

Si $z \neq 0$, alors $\dfrac{1}{z} = \dfrac{\overline{z}}{|z|^2}$.

Théorème (inégalité triangulaire). Pour tous $z, w \in \C$ :

$$\big| |z| - |w| \big| \leq |z + w| \leq |z| + |w|.$$

On a $|z + w| = |z| + |w|$ si et seulement si $w = 0$ ou s'il existe $\lambda \in \R_+$ tel que $z = \lambda w$.

Exponentielle complexe

Définition. Pour $\theta \in \R$, on pose $e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$. Pour $z = a + ib$ avec $(a, b) \in \R^2$, on pose $e^z = e^a e^{ib}$.

Proposition. Pour tous $\theta, \theta' \in \R$ et tous $z, w \in \C$ :

1. $e^{i\theta} \in \mathbb{U}$, et tout élément de $\mathbb{U}$ s'écrit $e^{i\theta}$ avec $\theta \in \R$ ;
2. $e^{i\theta} = e^{i\theta'}$ si et seulement si $\theta - \theta' \in 2\pi\Z$ ;
3. $e^{z + w} = e^z e^w$, $e^z \neq 0$ et $|e^z| = e^{\operatorname{Re} z}$ ;
4. $e^z = e^w$ si et seulement si $z - w \in 2i\pi\Z$.

Formules d'Euler et de Moivre. Pour tout $\theta \in \R$ et tout $n \in \Z$ :

$$\cos \theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}, \qquad \sin \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}, \qquad (\cos \theta + i \sin \theta)^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta).$$

Forme trigonométrique. Tout $z \in \C^*$ s'écrit $z = r e^{i\theta}$ avec $r = |z| > 0$ et $\theta \in \R$ ; le réel $\theta$ est unique modulo $2\pi$ et s'appelle un argument de $z$. Le nombre $0$ n'a pas d'argument. Si $z, w \in \C^*$ ont pour arguments $\theta$ et $\theta'$, alors $\theta + \theta'$ est un argument de $zw$.

Équation $e^z = w$. Pour $w \in \C^*$ d'argument $\alpha$, les solutions de $e^z = w$ sont les $z = \ln|w| + i(\alpha + 2k\pi)$, $k \in \Z$. L'équation $e^z = 0$ n'a pas de solution.

Technique de l'angle moitié

Pour tous $a, b \in \R$ :

$$e^{ia} + e^{ib} = 2 \cos\left( \frac{a - b}{2} \right) e^{i\frac{a+b}{2}}, \qquad e^{ia} - e^{ib} = 2i \sin\left( \frac{a - b}{2} \right) e^{i\frac{a+b}{2}}.$$

Application : pour $\theta \in \R \setminus 2\pi\Z$ et $n \in \N$,

$$\sum_{k=0}^{n} e^{ik\theta} = \frac{e^{i(n+1)\theta} - 1}{e^{i\theta} - 1} = e^{i\frac{n\theta}{2}} \, \frac{\sin\left( \frac{(n+1)\theta}{2} \right)}{\sin\left( \frac{\theta}{2} \right)}.$$

En prenant parties réelle et imaginaire, on obtient $\sum_{k=0}^{n} \cos(k\theta)$ et $\sum_{k=0}^{n} \sin(k\theta)$.

Racines $n$-ièmes

Dans cette section, $n \in \N^*$.

Proposition (racines $n$-ièmes de l'unité). L'ensemble $\mathbb{U}_n = \{ z \in \C : z^n = 1 \}$ a exactement $n$ éléments :

$$\mathbb{U}_n = \left\{ e^{\frac{2ik\pi}{n}} : k \in [\![0, n-1]\!] \right\}.$$

Si $n \geq 2$, la somme des éléments de $\mathbb{U}_n$ est nulle.

Proposition (racines $n$-ièmes d'un complexe non nul). Soit $w = \rho e^{i\alpha}$ avec $\rho > 0$ et $\alpha \in \R$. L'équation $z^n = w$ a exactement $n$ solutions dans $\C$ :

$$z_k = \rho^{1/n} \, e^{i\frac{\alpha + 2k\pi}{n}}, \qquad k \in [\![0, n-1]\!].$$

Racines carrées sous forme algébrique. Pour trouver les $z = x + iy$ ($x, y \in \R$) tels que $z^2 = a + ib$ ($a, b \in \R$), on résout le système $x^2 - y^2 = a$, $2xy = b$, $x^2 + y^2 = \sqrt{a^2 + b^2}$ ; la dernière équation vient de $|z|^2 = |z^2|$.

Théorème (équation du second degré). Soient $a, b, c \in \C$ avec $a \neq 0$, $\Delta = b^2 - 4ac$, et $\delta \in \C$ tel que $\delta^2 = \Delta$. Les solutions de $a z^2 + b z + c = 0$ sont

$$z_1 = \frac{-b + \delta}{2a} \qquad \text{et} \qquad z_2 = \frac{-b - \delta}{2a},$$

confondues si et seulement si $\Delta = 0$. Elles vérifient $z_1 + z_2 = -\dfrac{b}{a}$ et $z_1 z_2 = \dfrac{c}{a}$.

Si $a, b, c$ sont réels et $\Delta < 0$, on peut prendre $\delta = i\sqrt{-\Delta}$ : les deux solutions sont complexes conjuguées.

Géométrie

On identifie le plan à $\C$ : le point $M$ d'affixe $z$. Soient $A$, $B$, $C$ trois points d'affixes $a$, $b$, $c$, avec $A \neq B$ et $A \neq C$.

• Un argument de $\dfrac{c - a}{b - a}$ est une mesure de l'angle orienté $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})$.
• $A$, $B$, $C$ sont alignés si et seulement si $\dfrac{c - a}{b - a} \in \R$.
• $(AB) \perp (AC)$ si et seulement si $\dfrac{c - a}{b - a} \in i\R$.

Proposition (similitudes directes). Soient $\alpha \in \C^*$, $\beta \in \C$ et $f : z \mapsto \alpha z + \beta$.

1. Si $\alpha = 1$, $f$ est la translation de vecteur d'affixe $\beta$.
2. Si $\alpha \neq 1$, $f$ a un unique point fixe $\omega = \dfrac{\beta}{1 - \alpha}$, et $f(z) - \omega = \alpha (z - \omega)$ pour tout $z \in \C$ : $f$ est la similitude directe de centre $\omega$, de rapport $|\alpha|$ et d'angle un argument de $\alpha$.

Pièges fréquents

• Écrire $\sqrt{z}$ pour un complexe $z$ qui n'est pas un réel positif : cette notation n'est pas définie. Un complexe non nul a deux racines carrées, opposées.
• Confondre $|z|^2 = z \overline{z}$ et $z^2$ : ils ne sont égaux que si $z$ est réel.
• Parler de « l'argument » de $z$ : il n'est défini qu'à $2\pi$ près, et pas du tout pour $z = 0$.
• Conclure $z = w$ de $e^z = e^w$ : on sait seulement que $z - w \in 2i\pi\Z$.