Intégration sur un segment

Cadre et notations

Dans toute la fiche, $a < b$ sont deux réels et $I$ est un intervalle. Une fonction $f : [a, b] \to \R$ est continue par morceaux s'il existe une subdivision $a = x_0 < x_1 < \dots < x_p = b$ telle que, pour tout $i \in [\![1, p]\!]$, la restriction de $f$ à $]x_{i-1}, x_i[$ soit continue et admette des limites finies en $x_{i-1}$ et en $x_i$.

L'intégrale $\int_a^b f$ est définie pour ces fonctions ; on pose $\int_b^a f = -\int_a^b f$ et $\int_a^a f = 0$.

Propriétés de l'intégrale

Proposition. Soient $f, g$ continues par morceaux sur $[a, b]$ et $\lambda, \mu \in \R$.

1. Linéarité : $\int_a^b (\lambda f + \mu g) = \lambda \int_a^b f + \mu \int_a^b g$.
2. Relation de Chasles : pour $c \in [a, b]$, $\int_a^b f = \int_a^c f + \int_c^b f$.
3. Positivité et croissance : si $f \geq 0$ sur $[a, b]$, alors $\int_a^b f \geq 0$ ; si $f \leq g$ sur $[a, b]$, alors $\int_a^b f \leq \int_a^b g$.
4. Inégalité triangulaire : $\left| \int_a^b f \right| \leq \int_a^b |f|$.

Ces inégalités supposent les bornes dans l'ordre croissant ($a < b$).

Théorème (stricte positivité). Si $f$ est continue sur $[a, b]$, positive, et si $\int_a^b f = 0$, alors $f$ est nulle sur $[a, b]$.

La continuité est nécessaire : la fonction nulle sauf en un point, où elle vaut $1$, est positive, continue par morceaux, d'intégrale nulle.

Inégalité de Cauchy-Schwarz. Pour $f, g$ continues par morceaux sur $[a, b]$ :

$$\left( \int_a^b f g \right)^2 \leq \left( \int_a^b f^2 \right) \left( \int_a^b g^2 \right).$$

Théorème (sommes de Riemann). Si $f$ est continue par morceaux sur $[a, b]$, alors

$$\frac{b - a}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f\left( a + k \, \frac{b - a}{n} \right) \xrightarrow[n \to +\infty]{} \int_a^b f,$$

et de même avec la somme pour $k$ allant de $1$ à $n$.

Intégrale et primitives

Théorème fondamental de l'analyse. Soient $f$ continue sur l'intervalle $I$ et $x_0 \in I$. La fonction $F : x \mapsto \int_{x_0}^{x} f(t) \, dt$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $I$, et $F' = f$ : c'est l'unique primitive de $f$ sur $I$ qui s'annule en $x_0$. Pour toute primitive $G$ de $f$ sur $I$ et tous $\alpha, \beta \in I$ :

$$\int_\alpha^\beta f(t) \, dt = G(\beta) - G(\alpha).$$

Intégration par parties. Si $u$ et $v$ sont de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[a, b]$ :

$$\int_a^b u'(t) v(t) \, dt = \big[ u v \big]_a^b - \int_a^b u(t) v'(t) \, dt.$$

Changement de variable. Soient $\varphi : [\alpha, \beta] \to I$ de classe $\mathcal{C}^1$ et $f$ continue sur $I$. Alors

$$\int_{\varphi(\alpha)}^{\varphi(\beta)} f(x) \, dx = \int_\alpha^\beta f\big( \varphi(t) \big) \, \varphi'(t) \, dt.$$

La fonction $\varphi$ n'a pas besoin d'être bijective.

Formules de Taylor

Formule de Taylor avec reste intégral. Si $f$ est de classe $\mathcal{C}^{n+1}$ sur $I$ et $x_0, x \in I$ :

$$f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x - x_0)^k + \int_{x_0}^{x} \frac{(x - t)^n}{n!} f^{(n+1)}(t) \, dt.$$

Inégalité de Taylor-Lagrange. Sous les mêmes hypothèses, si $|f^{(n+1)}| \leq M$ sur le segment d'extrémités $x_0$ et $x$, alors

$$\left| f(x) - \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x - x_0)^k \right| \leq \frac{M \, |x - x_0|^{n+1}}{(n+1)!}.$$

Fonctions à valeurs complexes

Pour $f : [a, b] \to \C$ continue par morceaux, $\int_a^b f = \int_a^b \operatorname{Re} f + i \int_a^b \operatorname{Im} f$. Linéarité, Chasles, théorème fondamental, intégration par parties, changement de variable et inégalité $\left| \int_a^b f \right| \leq \int_a^b |f|$ restent vrais ; la croissance n'a pas de sens.

Primitives usuelles

Sur tout intervalle où l'expression est définie, avec $\alpha \in \R \setminus \{-1\}$ et $\lambda \in \C^*$ :

$$\int x^\alpha \, dx = \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha + 1}, \qquad \int \frac{dx}{x} = \ln|x|, \qquad \int e^{\lambda x} \, dx = \frac{e^{\lambda x}}{\lambda},$$ $$\int \frac{dx}{1 + x^2} = \arctan x, \qquad \int \frac{dx}{\sqrt{1 - x^2}} = \arcsin x \ \text{ sur } ]{-}1, 1[, \qquad \int \tan x \, dx = -\ln|\cos x|,$$ $$\int \frac{dx}{\cos^2 x} = \tan x, \qquad \int \operatorname{ch} x \, dx = \operatorname{sh} x, \qquad \int \operatorname{sh} x \, dx = \operatorname{ch} x.$$

Chaque égalité donne une primitive ; les autres en diffèrent d'une constante, sur chaque intervalle.

Pièges fréquents

• Écrire $\int_a^b f \leq \int_a^b g$ avec $a > b$.
• Oublier de changer les bornes dans un changement de variable.
• Écrire $\int \frac{dx}{x} = \ln|x| + C$ sur $\R^*$ avec une seule constante : $\R^*$ n'est pas un intervalle, la constante peut différer sur $]{-}\infty, 0[$ et sur $]0, +\infty[$.