Une infinité de nombres premiers congrus à 3 modulo 4

L1 L2 MPSI MP2Idifficulté 2/5Arithmétique · Congruencespar XiMathspas encore de copie envoyée▲ Utile · 0

Énoncé

Montrer que tout entier $n \geq 2$ congru à $3$ modulo $4$ admet un diviseur premier congru à $3$ modulo $4$ .
En déduire qu'il existe une infinité de nombres premiers congrus à $3$ modulo $4$ .

Indication 1

Pour 1, $n$ est impair, et un produit d'entiers congrus à $1$ modulo $4$ est congru à $1$ modulo $4$ .

Indication 2

Pour 2, s'il n'y en avait qu'un nombre fini $p_1, \dots, p_r$ , considérer $N = 4\, p_1 \cdots p_r - 1$ .

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