Théorème chinois : un système de trois congruences

L1 L2 MPSI MP2I PCSI PTSIdifficulté 2/5Arithmétique · Congruencespar XiMathspas encore de copie envoyée▲ Utile · 0

Énoncé

Déterminer le plus petit entier naturel $x$ tel que

x \equiv 2 \ [5], \qquad x \equiv 3 \ [7], \qquad x \equiv 4 \ [9].

Décrire ensuite l'ensemble de toutes les solutions entières du système.

Indication 1

Résoudre d'abord les deux premières congruences : leurs solutions sont les entiers $x \equiv 17 \ [35]$ .

Indication 2

Chercher ensuite $k$ tel que $17 + 35k \equiv 4 \ [9]$ .

Indication 3

Les modules $5$ , $7$ et $9$ sont premiers entre eux deux à deux : les solutions forment une classe modulo $315$ .

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$n^{13} - n$ est divisible par 2730ArithmétiqueNiveaux : L1, L2, MPSI, MP2I, MP.2/5NouveauNouveau
Une infinité de nombres premiers congrus à 3 modulo 4ArithmétiqueNiveaux : L1, L2, MPSI, MP2I.2/5NouveauNouveau
Dernier chiffre de $7^{2026}$ ArithmétiqueNiveaux : L1, MPSI, MP2I.1/5NouveauNouveau
Générateurs du groupe $\Z/12\Z$ Algèbre, ArithmétiqueNiveaux : L1, L2, MPSI, MP2I, MP.1/5NouveauNouveau
Un nombre pseudo-premier : $2^{340}$ modulo 341ArithmétiqueNiveaux : L1, L2, MPSI, MP2I, MP.2/5NouveauNouveau
Reste de $3^{100}$ modulo 7ArithmétiqueNiveaux : L1, MPSI, MP2I.1/5NouveauNouveau