$n^{13} - n$ est divisible par 2730

L1 L2 MPSI MP2I MPdifficulté 2/5Arithmétique · Congruencespar XiMathspas encore de copie envoyée▲ Utile · 0

Énoncé

Montrer que, pour tout entier $n$ , l'entier $n^{13} - n$ est divisible par $2730$ .

Indication 1

$2730 = 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 13$ .

Indication 2

Pour $p$ premier et $n$ non divisible par $p$ , le petit théorème de Fermat donne $n^{p-1} \equiv 1$ modulo $p$ .

Indication 3

Pour chacun des cinq facteurs premiers $p$ , l'entier $p - 1$ divise $12$ .

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