Aller au contenu
XiMaths
Se connecter
← Tous les exercices

Théorème de Wilson : (p−1)!≡−1(p-1)! \equiv -1 modulo pp

L2L3MPdifficulté 3/5Arithmétique · Congruencespar XiMathspas encore de copie envoyée▲ Utile · 0

Énoncé

Soit pp un nombre premier.

  1. Déterminer les entiers xx compris entre 11 et p−1p - 1 tels que x2≡1x^2 \equiv 1 modulo pp.
  2. En déduire que (p−1)!≡−1(p-1)! \equiv -1 modulo pp.
  3. Réciproquement, soit n≥2n \geq 2 un entier tel que (n−1)!≡−1(n-1)! \equiv -1 modulo nn. Montrer que nn est premier.

Indications

Indication 1

Pour 1, pp divise (x−1)(x+1)(x - 1)(x + 1) et pp est premier.

Indication 2

Pour 2, tout entier de 11 à p−1p - 1 a un inverse modulo pp dans le même intervalle : dans le produit, regrouper chaque entier avec son inverse.

Indication 3

Pour 3, un diviseur dd de nn tel que 1<d<n1 < d < n diviserait à la fois (n−1)!(n-1)! et (n−1)!+1(n-1)! + 1.

Ta solution

Connecte-toi pour envoyer ta copie en photos : trois membres la reliront.

Exercices proches

Licence CC BY-SA 4.0.